S fotbalem začínal ve Žďáru nad Sázavou, později byl na vojně v Táboře. Právě z něj putoval v létě 1966 na sever do Teplic. Platil za „berana", který měl jednoduché úkoly - míč z místa pravé spojky co nejjednodušeji dostat do branky. Po krátké aklimatizaci tento úkol začínal plnit, časem byl ale mnohem víc vidět Stratil, do lázeňského města přišel ve stejnou dobu. Na přestupech měl výrazný podíl tehdejší klubový šíbr Oldřich Špaňhel. 

Kantor, jenž v Teplicích nastoupoval s osmičkou, v lednu 1969 přestoupil do Slavie, kde se mu ale příliš nedařilo a z ligové scény se vytratil. Za „sešívané" nastoupil do 32 utkání, vstřelil jen 4 góly. V kariéře pokračoval na Kladně a Žižkově. 

Na Kantora tepličtí pamětníci vzpomínají jako na muže, jehož góly často rozhodovaly zápasy. Ten první ligový za Teplice dal 4. září 1966. Severočeši ve 4. kole hostili Bohemians, Kantor se trefil jako první.  Poté na 2:0 zvýšil Stratil. Krátce po obrátce snížil Jarabinský, více už ale domácí Pražanům nedovolili a vyhráli 2:1. 

Kantorovi se parádně povedlo první jarní utkání roku 1967. Tepličtí na Drožďárně hostili Spartak Brno, 181 centimetrů měřící forvard zaznamenal hattrick! Není bez zajímavosti, že všechny góly dal až ve druhé půli. Významně tak přispěl k výhře svých barev 4:0. 

Velmi vydařeným zápasem Juliuse Kantora je ten z 18. srpna 1967. Sklo Union jel ve 2. kole do vršovického Ďolíčku. S Bohemians se hrálo vůbec poprvé v historii ligy pod umělým osvětlením, v hledišti bylo 13 tisíc fanoušků. Střetnutí skončilo remízou 3:3, Kantor dal dvě branky. Tu druhou šest minut před koncem. A to ještě sudí Rehák hrdinovi souboje neuznal jeden gól kvůli ofsajdu. 

Proti „klokanům" se kudrnatému fotbalistovi, který si zahrál i za reprezentaci do 21 let, vskutku dařilo. Gól jim dal i 24. března 1968. A jaký! Obešel několik obránců soupeře a bombou o tyč otevřel skóre. To se psala 46. minuta. V první půli byl Kantor nevýrazný, do formy ho patrně dostaly "kapky" trenéra Rýgra, které naordinoval v kabině. Na konečných 2:0 upravil nevídaným gólem obránce Teplic Vítů. Jarní sluníčko brankáře Bohemky Ředinu oslnilo natolik, že udělal hrubou chybu při jeho nákopu z více než 40 metrů. Mohla za to tak trochu jedna z výjimečných anomálií stadionu u Drožďárny; hřiště bylo netradičně situováno tak, že jedna z branek byla na východ, druhá na západ. Zapadající slunce brankáře oslnilo a při couvání do branky míč prakticky neviděl.

Poslední ligový gól v dresu Teplic zaznamenal Kantor 11. srpna 1968 v domácím utkání proti Trnavě (2:3).